BIM百宝箱

1.2 无缓和曲线时，圆曲线始终点处正矢

如上图所示，当圆曲线与直线相连时，由于测量弦线的一端伸入到直线内，故圆曲线始、终点ZY、YZ)两侧测点的正矢与圆曲线内的各点不同。

设: 1、2测点的正矢分别为f₁、f₂则

$$f_1=\frac{b^2}{2}f_y\\
f_2=\left (1-\frac{a^2}{2} \right )f_y$$

当a=0、b=1时，1测点为圆曲线始点，则f₁=fy÷2、f₂=fy，即圆曲线始点位于2测点时其正矢为圆曲线正矢的二分之一。

直圆点正矢 \(f_{zy}=\frac{f }{2}\)

圆直点正矢 \(f_{yz}=\frac{f }{2}\)

例:圆曲线计划正矢f=100mm、a=1.5m、b=8.5m（其中10为点间距，比如现场采用20m弦时，点间距为10m）。求f₁、f₂

解：

$$a=\frac{a\lambda }{\lambda}=\frac{1.5}{10}=0.15\\b=\frac{b\lambda }{\lambda}=\frac{8.5}{10}=0.85$$

$$f_1=\frac{b^2}{2}f_y=\frac{0.85^2}{2}\times 100=36.1mm\\
f_2=\left (1-\frac{a^2}{2} \right )f_y=\left (1-\frac{0.15^2}{2} \right )\times 100=98.9mm$$

2.3 缓和曲线始点(ZH、HZ)相邻测点的正矢

如图所示，设1、2两测点分别在ZH点两侧，与ZH点相距分别为aλ、bλ，λ为测点间的距离，等于弦长的一半，a+b=λ， 则:

公式：

$$f_1=\frac{b^3}{6} f_d \\
f_2=\left (b+\frac{a^3}{6} \right ) f_d$$

上式中：a和b均为段，即a=a/λ,b=b/λ。

当缓和曲线始点(ZH) 1位于点时，此时a=0、b=1则:

$$
f_1=\frac{1}{6} \times f_d \\
f_2=f_d$$

例:缓和曲线20m弦正矢递变率f_d=30mm，1测点和2测点距ZH点分别为a=7.5m，b=2.5m，求f₁和f₂
弦长为20m，那么点间距λ=10，则a=7.5/10=0.75，b=2.5/10=0.25。

$$f_1=\frac{b^3}{6}f_d=\frac{0.25^3}{6}\times 30=0.1mm\\
f_2=\left (b+\frac{a^3}{6} \right )f_d=\left (0.25+\frac{0.75^3}{6} \right )\times 30=9.6mm$$

2.4 缓和曲线终点(HY、 YH) 相邻两点的正矢

如图所示，n和n+1为与缓圆点相邻的两个测点，距缓圆点分别为bλ和aλ。
则：

则\(f_n=f_y-\frac{1}{6}f_d\)

$$f_{n+1}=f_y$$

当缓和曲线始点(ZH)位于1n点时，a=1、b=0

则
$$f_n=f_y-\left (b+\frac{a^3}{6}\right )f_d$$

$$f_{n+1}=f_y-\frac{b^3}{6}f_d$$

即当缓和曲线始点(ZH)位于测点时，其正矢为圆曲线正矢减缓和曲线正矢递诚变率的六分之一。
例:圆曲线20m弦计划正矢f_y=90mm,缓和曲线正矢递减变率f_d=30mm,设n测点距HY点距离为7.5m，n+1测点距HY点距离为2.5m，求f_n和f_n+1。

弦长为20m，那么点间距λ=10，则a=2.5/10=0.25，b=7.5/10=0.75。

解:

$$f_n=f_y-\left ( b+\frac{a^3}{6}f_d\right )=90-\left ( 0.75+\frac{0.25^3}{6}\times 30\right )=67.4mm$$
$$ f_{n+1}=f_y-\frac{b^3}{6}f_d=90-\frac{0.75^3}{6}\times 30=87.9mm$$

曲线上任意点矢距的计算

如上图所示,设弦长AB=C,如上所述,

$$f=\frac{C^2}{8R}$$

距AB弦始终点为a的任意点的矢距f’,等于正矢f减去以(C-2a)为弦的正矢，即

$${f}’=\frac{C^2}{8R}-\frac{\left (C-2a \right )^2}{8R}\\
=\frac{4aC-4a^2}{8R}=\frac{4a(C-a)}{8R}\\
=\frac{a(C-a)}{2R}$$

如\(a=\frac{1}{8}C\)，则

$${f}’_{1/8}=\left [ \frac{4C}{8}\left ( C-\frac{C}{8}\right )\right ]\div 8R\\
=\frac{4}{8}\times \frac{7}{8}\times \frac{C^2}{8R}=\frac{7}{16}f$$

如\(a=\frac{1}{4}C\)，则

$${f}’_{1/4}=\left [4\times \frac{C}{4}\left ( C-\frac{C}{4}\right )\right ]\div 8R\\
=\frac{3}{4}\times \frac{C^2}{8R}=\frac{3}{4}f=\frac{12}{16}f$$

如\(a=\frac{3}{8}C\)，则

$${f}’_{3/8}=\left [4\times \frac{3C}{8}\left ( C-\frac{3C}{8}\right )\right ]\div 8R\\
=\frac{3}{8}\times \frac{5}{2}\times \frac{C^2}{8R}=\frac{15}{16}f$$

曲线上任意点矢距的计算

如上图所示,设弦长AB=C,如上所述,

$$f=\frac{C^2}{8R}$$

距AB弦始终点为a的任意点的矢距f’,等于正矢f减去以(C-2a)为弦的正矢，即

$${f}’=\frac{C^2}{8R}-\frac{\left (C-2a \right )^2}{8R}\\
=\frac{4aC-4a^2}{8R}=\frac{4a(C-a)}{8R}\\
=\frac{a(C-a)}{2R}$$

如\(a=\frac{1}{8}C\)，则

$${f}’_{1/8}=\left [ \frac{4C}{8}\left ( C-\frac{C}{8}\right )\right ]\div 8R\\
=\frac{4}{8}\times \frac{7}{8}\times \frac{C^2}{8R}=\frac{7}{16}f$$

如\(a=\frac{1}{4}C\)，则

$${f}’_{1/4}=\left [4\times \frac{C}{4}\left ( C-\frac{C}{4}\right )\right ]\div 8R\\
=\frac{3}{4}\times \frac{C^2}{8R}=\frac{3}{4}f=\frac{12}{16}f$$

如\(a=\frac{3}{8}C\)，则

$${f}’_{3/8}=\left [4\times \frac{3C}{8}\left ( C-\frac{3C}{8}\right )\right ]\div 8R\\
=\frac{3}{8}\times \frac{5}{2}\times \frac{C^2}{8R}=\frac{15}{16}f$$